\documentclass[handout]{slide}



\renewcommand{\mytitle}{第九章\quad 多元函数微分法及其应用}
\renewcommand{\mysubtitle}{第一节\quad 多元函数的基本概念}
\graphicspath{ {./images/} }

\newcommand{\Int}{\operatorname{Int}}
\renewcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}}
\newcommand{\Acc}{\operatorname{Acc}}
\begin{document}


\section{平面点集}

\begin{frame}
在讨论一元函数时，一些概念、理论和方法都是基于 $\symbf{R}^{1}$ 中的点集、两点间的距离、区间和邻域等概念。
\pause
 为了将一元函数微积分推广到多元的情形， 首先需要将上述一些概念加以推广， 同时还需涉及一些其他概念。
\pause
 为此先引人平面点集的一些基本概念，将有关概念从 $\symbf{R}^{1}$ 中的情形推广到 $\symbf{R}^{2}$ 中; 
 \pause
 然后引人 $n$ 维空间， 以便推广到一般的 $\symbf{R}^{n}$ 中。

\end{frame}


\begin{frame}{平面点集}

由平面解析几何知道， 当在平面上引人了一个直角坐标系后， 平面上的点 $P$ 与有序二元实数组 $(x, y)$ 之间就建立了一一对应。
\pause
 于是， 我们常把有序实数组 $(x, y)$ 与平面上的点 $P$ 视作是等同的。
\pause
 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面。
\pause
 二元有序实数组 $(x, y)$ 的全体， 即 $\symbf{R}^{2}=\symbf{R} \times \symbf{R}=\{(x, y) \mid x, y \in \symbf{R}\}$ 就表示坐标平面。


~

\pause
坐标平面上具有某种性质 $P$ 的点的集合， 称为\emph{平面点集}， 记作
\[
E=\{(x, y) \mid (x, y) \text {~具有性质~} P\} .
\]
\pause
例如， 平面上以原点为中心 $r$ 为半径的圆内所有点的集合是
\[
C=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<r^{2}\right\} .
\]
\pause
如果以点 $P$ 表示 $(x, y)$, $|O P|$ 表示点 $P$ 到原点 $O$ 的距离， 
\pause
那么集合 $C$ 也可表成
\[
C=\{P\mid  |OP| <r\} .
\]
\end{frame}

\begin{frame}{邻域}
  \pause
现在我们来引人 $\symbf{R}^{2}$ 中邻域的概念。


\pause
设 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $x O y$ 平面上的一个点， $\delta$ 是某一正数。
\pause
与点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 距离小于 $\delta$ 的点 $P(x, y)$ 的全体， 称为点 $P_{0}$ 的 \emph{$\delta$ 邻域}， 
\pause
记作 $U\left(P_{0}, \delta\right)$, 
\pause
即
\[
  U\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{P \mid |PP_{0}| <\delta\right\},
\]
\pause
也就是
\[
U\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{(x, y)~\Bigg\vert~\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}<\delta\right\} .
\]

\pause
点 $P_{0}$ 的去心 $\delta$ 邻域， 记作 $\mathring{U}\left(P_{0}, \delta\right)$, 
\pause
即
\[
  \mathring{U}\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{P\mid 0<|PP_{0}|<\delta\right\} .
\]

\pause
在几何上， $U\left(P_{0}, \delta\right)$ 就是 $x O y$ 平面上以点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为中心 $\delta>0$ 为半径的圆内部的点 $P(x, y)$ 的全体。


\pause
如果不需要强调邻域的半径 $\delta$, 则用 $U\left(P_{0}\right)$ 表示点 $P_{0}$ 的某个邻域， 点 $P_{0}$ 的去心邻域记作 $\mathring{U}\left(P_{0}\right)$.

\end{frame}

\begin{frame}{内点、外点、边界点、边界、聚点}
  \onslide<1->{%
下面利用邻域来描述点和点集之间的关系。
}%

\onslide<2->{%
任意一点 $P \in \symbf{R}^{2}$ 与任意一个点集 $E \subset \symbf{R}^{2}$ 之间必有以下三种关系中的一种：
}%
\onslide<3->{%
\begin{columns}
  \begin{column}{.7\textwidth}

  \begin{enumerate}
  \item 
    \onslide<4->{%
    \emph{内点}： 
  }%
  \onslide<5->{%
如果存在点 $P$ 的某个邻域 $U(P)$, 使得 $U(P) \subset E$, 那么称 $P$ 为 $E$ 的\emph{内点} (如图 9-1 中， $P_{1}$ 为 $E$的内点);
}%
\item 
\onslide<7->{%
  \emph{外点}： 
}%
\onslide<8->{%
如果存在点 $P$ 的某个邻域 $U(P)$,使得 $U(P) \cap E=\varnothing$, 那么称 $P$ 为 $E$ 的\emph{外点} (如图 9-1 中， $P_{2}$ 为 $E$ 的外点)；
}%
\item 
\onslide<9->{%
  \emph{边界点}： 
}%
\onslide<10->{%
如果点 $P$ 的任一邻域内既含有属于 $E$ 的点， 又含有不属于 $E$ 的点，那么称 $P$ 为 $E$ 的\emph{边界点} (如图 9-1 中， $P_{3}$ 为 $E$ 的边界点)。
}%
\onslide<11->{%
$E$ 的边界点可能属于 $E$, 也可能不属于 $E$;
}%
\onslide<12->{%
$E$ 的边界点的全体， 称为 $E$ 的\emph{边界}， 记作 $\partial E$.
}%

\item
\onslide<13->{%
  \emph{聚点}：
}%
\onslide<14->{%
如果对于任意给定的 $\delta>0$, 点 $P$ 的去心邻域 $\mathring{U}(P, \delta)$ 内总有 $E$ 中的点， 那么称 $P$ 是 $E$ 的\emph{聚点}。
}%
\onslide<15->{%
由聚点的定义可知， 点集 $E$ 的聚点 $P$ 本身， 可以属于 $E$, 也可以不属于 $E$.}%
\end{enumerate}
\end{column}
\onslide<6->{%
  \begin{column}{.3\textwidth}
  \begin{figure}
\centering
\includegraphics[max width=.9\textwidth]{2024_01_20_3f478344d98272341b49g-02}
\caption*{图 9-1}
\end{figure}
\end{column}
}%
\end{columns}
}%
\end{frame}

\begin{frame}{}
这些与$E$用不同关系的点有如下联系：
\pause
\begin{enumerate}
\item $E$ 的内点必属于 $E$; 
\pause
\item $E$ 的外点必定不属于 $E$; 
\pause
\item 内点一定不是边界点;
\pause
\item 不落在$E$中的边界点是聚点;
\pause
\item 不落在$E$中的聚点都是边界点。
\end{enumerate}
\pause
若分别用$\Int E$, $\Ext E$, $\Acc E$来记$E$的所有内点的集合、$E$的所有外点的集合、$E$的所有聚点的集合， 
\pause 
那么上述事实可用集合的记号表示为：
\pause
\begin{gather*}
  \Int E\subset E,\quad \Ext E\cap E=\emptyset, \quad \Int E\cap \partial E=\emptyset, \\
  \partial E\setminus E\subset \Acc E,\quad \Acc E\setminus E\subset \partial E.
\end{gather*}


\pause
\begin{example}
设平面点集
\[
E=\left\{(x, y) \mid 1<x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\} .
\]
\pause
满足 $1<x^{2}+y^{2}<2$ 的一切点 $(x, y)$ 都是 $E$ 的内点; 
\pause
满足 $x^{2}+y^{2}=1$ 的一切点 $(x, y)$ 都是 $E$的边界点， 它们都不属于 $E$; 
\pause
满足 $x^{2}+y^{2}=2$ 的一切点 $(x, y)$ 也是 $E$ 的边界点， 它们都属于 $E$; 
\pause
点集 $E$ 以及它的边界 $\partial E$ 上的一切点都是 $E$ 的聚点。
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}{开集、闭集、连通集、闭区域、（开）区域、有界集、无界集}
\pause
根据点集所属点的特征，再来定义一些重要的平面点集。

\pause
\begin{enumerate}
  \item \emph{开集}：
\pause
如果点集 $E$ 的点都是 $E$ 的内点，那么称 $E$ 为\emph{开集}。


\item \pause
\emph{闭集}: 如果点集 $E$ 的边界 $\partial E \subset E$,那么称 $E$ 为\emph{闭集}。


\pause
例如，集合 $\left\{(x, y) \mid 1<x^{2}+y^{2}<2\right\}$ 是开集; 
\pause
集合 $\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\}$ 是闭集; 
\pause
而集合 $\left\{(x, y) \mid 1<x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\}$ 既非开集，也非闭集。


\pause
\item \emph{连通集}： 
\pause
如果点集 $E$ 内任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于 $E$, 那么称 $E$ 为\emph{连通集}。


\pause
\item \emph{区域} (或\emph{开区域}): 
\pause
连通的开集称为\emph{区域}或\emph{开区域}。


\pause
\item \emph{闭区域}：
\pause
开区域连同它的边界一起所构成的点集称为\emph{闭区域}。


\pause
例如，集合 $\left\{(x, y) \mid 1<x^{2}+y^{2}<2\right\}$ 是区域，
\pause
而集合 $\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\}$ 是闭区域。


\pause
\item \emph{有界集}：
\pause
对于平面点集 $E$, 如果存在某一正数 $r$,使得
\[
E \subset U(O, r),
\]
其中 $O$ 是坐标原点，那么称 $E$ 为有界集。


\pause
\item \emph{无界集}：一个集合如果不是有界集，就称这个集合为无界集。


\pause
例如，集合 $\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\}$ 是有界闭区域，
\pause
集合 $\{(x, y) \mid x+y>0\}$ 是无界开区域，
\pause
集合 $\{(x, y) \mid x+y \geqslant 0\}$ 是无界闭区域。
\end{enumerate}
\end{frame}


\section{$n$ 维空间（自学）}

\begin{frame}{$n$ 维空间}
设 $n$ 为取定的一个正整数， 我们用 $\symbf{R}^{n}$ 表示 $n$ 元有序实数组 $\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的全体所构成的集合，
\pause
即
\[
\symbf{R}^{n}=\symbf{R} \times \symbf{R} \times \cdots \times \symbf{R}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{i} \in \symbf{R}, i=1,2, \cdots, n\right\} .
\]
\pause
$\symbf{R}^{n}$ 中的元素 $\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 有时也用单个字母 $\symbf{x}$ 来表示， 
\pause
即 $\symbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$. 当所有的 $x_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 都为零时， 称这样的元素为 $\symbf{R}^{n}$ 中的\emph{零元}， 记为 $\symbf{0}$ 或 $O$. 
\pause
在解析几何中， 通过直角坐标系， $\symbf{R}^{2}$ (或 $\symbf{R}^{3}$ ) 中的元素分别与平面(或空间) 中的点或向量建立一一对应，
\pause
因而 $\symbf{R}^{n}$ 中的元素 $\symbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 也称为 $\symbf{R}^{n}$ 中的一个点或一个 \emph{$n$ 维向量}， 
\pause
$x_{i}$ 称为点 $\symbf{x}$ 的第 $i$ 个坐标或 $n$ 维向量 $\symbf{x}$ 的\emph{第 $i$ 个分量}。
\pause
 特别地， $\symbf{R}^{n}$ 中的零元 $\symbf{0}$ 称为 $\symbf{R}^{n}$ 中的坐标原点或 $n$ 维零向量。


 \pause
为了在集合 $\symbf{R}^{n}$ 中的元素之间建立联系，在 $\symbf{R}^{n}$ 中定义线性运算如下：

\pause
设 $\symbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), \symbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)$ 为 $\symbf{R}^{n}$ 中任意两个元素， $\lambda \in \symbf{R}$, 
\pause
规定
\[
  \begin{aligned}
    \symbf{x}+\symbf{y}&= \left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, \cdots, x_{n}+y_{n}\right), \\
    \lambda \symbf{x}&= \left(\lambda x_{1}, \lambda x_{2}, \cdots, \lambda x_{n}\right) .
\end{aligned}
\]
\pause
这样定义了线性运算的集合 $\symbf{R}^{n}$ 称为 \emph{$n$ 维空间}。

\end{frame}

\begin{frame}{距离}
  \pause
$\symbf{R}^{n}$ 中点 $\symbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 和点 $\symbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)$ 间的距离， 
\pause
记作 $\rho(\symbf{x}, \symbf{y})$, 
\pause
规定
\[
\rho(\symbf{x}, \symbf{y})=\sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-y_{n}\right)^{2}} .
\]
\pause
显然， $n=1,2,3$ 时，上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一致。



\pause
$\symbf{R}^{n}$ 中元素 $\symbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 与零元 $\symbf{0}$ 之间的距离 $\rho(\symbf{x}, \symbf{0})$ 记作 $\|\symbf{x}\|$ 
\pause
(在 $\symbf{R}^{1}$, $\symbf{R}^{2}$, $\symbf{R}^{3}$ 中， 通常将 $\|x\|$ 记作 $|x|$), 
\pause
即
  \[
  \|\symbf{x}\|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}} .
\]
\pause
采用这一记号，结合向量的线性运算，便得
\[
\|\symbf{x}-\symbf{y}\|
\pause
=\sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-y_{n}\right)^{2}}
\pause
=\rho(\symbf{x}, \symbf{y}) .
\]
\end{frame}

\begin{frame}{极限、邻域等}
\pause
在 $n$ 维空间 $\symbf{R}^{n}$ 中定义了距离以后， 就可以定义 $\symbf{R}^{n}$ 中变元的极限：

\pause
设 $\symbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), \symbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) \in \symbf{R}^{n}$. 
\pause
如果
\[
  \|\symbf{x}-\symbf{a}\| \rightarrow 0
\]
\pause
那么称变元 \emph{$\symbf{x}$ 在 $\symbf{R}^{n}$ 中趋于固定元 $\symbf{a}$}, 
\pause
记作 $\symbf{x} \rightarrow \symbf{a}$.

\pause
显然，
\[
\symbf{x} \rightarrow \symbf{a} \Leftrightarrow x_{1} \rightarrow a_{1}, x_{2} \rightarrow a_{2}, \cdots, x_{n} \rightarrow a_{n} .
\]

\pause
在 $\symbf{R}^{n}$ 中引人线性运算和距离， 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念，可以方便地引人到 $n$ ($n \geqslant 3$) 维空间中来，例如，

\pause
设 $\symbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) \in \symbf{R}^{n}$, $\delta$ 是某一正数，
\pause
则 $n$ 维空间内的点集
\[
  U(\symbf{a}, \delta)=\left\{x \mid x \in \symbf{R}^{n}, \rho(\symbf{x}, \symbf{a})<\delta\right\}
\]
就定义为 $\symbf{R}^{n}$ 中点 $\symbf{a}$ 的 $\delta$ 邻域。
\pause
 以邻域为基础， 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点以及开集、闭集、区域等一系列概念。
\pause
这里不再赘述。

\end{frame}

\section{多元函数的概念}

\begin{frame}{多元函数的例子}
\pause
在很多自然现象以及实际问题中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：
\pause
\begin{example}
\begin{enumerate}
\item 圆柱体的体积 $V$ 和它的底半径 $r$ 、高 $h$ 之间具有关系
\[
  V=\pi r^{2} h.
\]
\pause
这里， 当 $r$ 和 $h$ 在集合 $\{(r, h) \mid r>0, h>0\}$ 内取定一对值 $(r, h)$ 时， $V$ 的对应值就随之确定。

\pause
\item 一定量的理想气体的压强 $p$ 、体积 $V$ 和绝对温度 $T$ 之间具有关系
\[
p=\frac{R T}{V}
\]
其中 $R$ 为常数。
\pause
 这里， 当 $V$ 和 $T$ 在集合 $\left\{(V, T) \mid V>0, T>T_{0}\right\}$ 内取定一对值 $(V, T)$ 时， $p$的对应值就随之确定。
\pause

\item 设 $R$ 是电阻 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 并联后的总电阻， 
\pause
  由电学知道， 它们之间具有关系
\[
R=\frac{R_{1} R_{2}}{R_{1}+R_{2}} .
\]
\pause
这里， 当 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 在集合 $\left\{\left(R_{1}, R_{2}\right) \mid R_{1}>0, R_{2}>0\right\}$ 内取定一对值 $\left(R_{1}, R_{2}\right)$ 时， $R$ 的对应值就随之确定。

\end{enumerate}
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}{二元函数}
  \pause
上面三个例子的具体意义虽各不相同，但它们却有共同的性质，抽出这些共性就可得出以下二元函数的定义。

\pause
\begin{definition*}
  设 $D$ 是 $\symbf{R}^{2}$ 的一个非空子集， 称映射 $f: D \rightarrow \symbf{R}$ 为定义在 $D$ 上的\emph{二元函数}，通常记为
\[
z=f(x, y), \quad(x, y) \in D
\]
\pause
或
\[
z=f(P), \quad P \in D,
\]
\pause
其中点集 $D$ 称为该函数的\emph{定义域}， $x$ 和 $y$ 称为\emph{自变量}， $z$ 称为\emph{因变量}。

\end{definition*}


\pause
上述定义中， 与自变量 $x$ 和 $y$ 的一对值 (即二元有序实数组) $(x, y)$ 相对应的因变量 $z$ 的值， 
也称为 $f$ 在点 $(x, y)$ 处的\emph{函数值}， 
\pause
记作 $f(x, y)$, 即 $z=f(x, y)$. 
\pause
函数值 $f(x, y)$ 的全体所构成的集合称为函数 $f$ 的\emph{值域}， 记作 $f(D)$, 即
\[
f(D)=\{z \mid z=f(x, y),(x, y) \in D\} .
\]


\pause
与一元函数的情形相仿， 记号 $f$ 与 $f(x, y)$ 的意义是有区别的， 但习惯上常用记号 ``$f(x, y), (x, y) \in D$'' 或 ``$z=f(x, y), (x, y) \in D$'' 来表示 $D$ 上的二元函数 $f$. 
\pause
表示二元函数的记号 $f$ 也是可以任意选取的， 例如也可以记为 $z=\varphi(x, y), z=z(x, y)$ 等。

\end{frame}

\begin{frame}{$n$元函数}
\pause
类似地， 可以定义三元函数 $u=f(x, y, z),(x, y, z) \in D$ 以及三元以上的函数。
\pause
一般地， 把定义 1 中的平面点集 $D$ 换成 $n$ 维空间 $\symbf{R}^{n}$ 内的点集 $D$, 映射 $f: D \rightarrow \symbf{R}$ 就称为定义在 $D$ 上的 \emph{$n$ 元函数}， 
\pause
通常记为
\[
u=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), \quad\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in D
\]
\pause
或简记为
\[
u=f(\symbf{x}), \quad \symbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in D,
\]
\pause
也可记为
\[
u=f(P), \quad P\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in D .
\]

\pause
当 $n=2$ 或 $n=3$ 时， 习惯上将点 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 与点 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 分别写成 $(x, y)$ 与 $(x, y, z)$. 
\pause
这时， 若用字母表示 $\symbf{R}^{2}$ 或 $\symbf{R}^{3}$ 中的点， 即写成 $P(x, y)$ 或 $M(x, y, z)$, 
\pause
则相应的二元函数及三元函数也可简记为 $z=f(P)$ 及 $u=f(M)$.

\pause
当 $n=1$ 时， $n$ 元函数就是\emph{一元函数}; 
\pause
当 $n \geqslant 2$ 时， $n$ 元函数统称为\emph{多元函数}。
\pause

\end{frame}

\begin{frame}{多元函数的自然定义域}
  \pause
关于多元函数的定义域， 与一元函数相类似，我们作如下约定：
\pause
在一般地讨论用算式表达的多元函数 $u=f(\symbf{x})$ 时， 就以使这个算式有意义的变元 $\symbf{x}$ 的值所组成的点集为这个\emph{多元函数的自然定义域}。
\pause
 因而， 对这类函数， 它的定义域不再特别标出。
\pause
 例如， 函数 $z=\ln (x+y)$ 的定义域为
\[
\{(x, y) \mid x+y>0\}
\]
(图 9-2), 这是一个无界开区域。
\pause
 又如， 函数 $z=\arcsin \left(x^{2}+y^{2}\right)$ 的定义域为
\[
\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}
\]
(图 9-3), 
\pause
这是一个有界闭区域。
\pause

\begin{figure}
  \centering
  \begin{subfigure}[b]{.3\textwidth}
      \includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_20_3f478344d98272341b49g-06(1)}
        \caption*{图 9-2}
    \end{subfigure}
    \hskip 4em
    \begin{subfigure}[b]{.3\textwidth}
      \includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_20_3f478344d98272341b49g-06(2)}
      \caption*{图 9-3}
  \end{subfigure}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{函数的图形}
\pause
设函数 $z=f(x, y)$ 的定义域为 $D$. 
\pause
对于任意取定的点 $P(x, y) \in D$, 对应的函数值为 $z=f(x, y)$. 
\pause
这样， 以 $x$ 为横坐标、 $y$ 为纵坐标和 $z=f(x, y)$为坚坐标在空间就确定一点 $M(x, y, z)$. 
\pause
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_3f478344d98272341b49g-06}
  \caption*{图 9-4} 
  \pause
\end{wrapfigure}
当 $(x, y)$ 遍取 $D$上的一切点时， 得到一个空间点集
\[
\{(x, y, z) \mid z=f(x, y),(x, y) \in D\},
\]
\pause
这个点集称为\emph{二元函数 $z=f(x, y)$ 的图形} (图 9-4). 
\pause
通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。


~

\pause
例如， 由空间解析几何知道， 线性函数 $z=a x+b y+c$的图形是一张平面， 而函数 $z=x^{2}+y^{2}$ 的图形是旋转抛物面。
\pause

\end{frame}

\section{多元函数的极限}

\begin{frame}{多元函数的极限}
  \pause
先讨论二元函数 $z=f(x, y)$ 当 $(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 即 $P(x, y) \rightarrow P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 时的极限。


\pause
这里 $P \rightarrow P_{0}$ 表示点 $P$ 以任何方式趋于点 $P_{0}$, 也就是点 $P$ 与点 $P_{0}$ 间的距离趋于零， 即
\[
\left|P P_{0}\right|=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}} \rightarrow 0 .
\]
\pause
与一元函数的极限概念类似， 如果在 $P(x, y) \rightarrow P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的过程中， 对应的函数值 $f(x, y)$ 无限接近于一个确定的常数 $A$, 
\pause
那么就说 $A$ 是函数 $f(x, y)$ 当 $(x, y) \rightarrow$ $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 时的极限。
\pause
 下面用 ``$\varepsilon$-$\delta$ '' 语言描述这个极限概念。


 \pause
\begin{definition*}
设二元函数 $f(P)=f(x, y)$ 的定义域为 $D, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $D$ 的聚点。
\pause
 如果存在常数 $A$, 对于任意给定的正数 $\varepsilon$, 总存在正数 $\delta$, 使得当点 $P(x, y) \in D \cap \mathring{U}\left(P_{0}, \delta\right)$ 时，
\pause
 都有
\[
|f(P)-A|=|f(x, y)-A|<\varepsilon
\]
成立， 
\pause
那么就称常数 $A$ 为函数 $f(x, y)$ 当 $(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 时的极限， 
\pause
记作
\[
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=A \quad \text { 或 } \quad
f(x, y) \rightarrow A\left((x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)\right) ,
\]
\pause
也记作
\[
\lim _{P \rightarrow P_{0}} f(P)=A \quad \text { 或 } \quad f(P)
\rightarrow A \;\left(P \rightarrow P_{0}\right) .
\]
\end{definition*}

\end{frame}
\begin{frame}
  \onslide<1->{%\pause
  \begin{example}
  设 $f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}$, 求证：
  \[
  \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0
\]
\end{example}
}%\pause
\onslide<2->{%
\begin{proof}
  \onslide<3->{%
这里函数 $f(x, y)$ 的定义域为 $D=\symbf{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}$, 点 $O(0,0)$ 为 $D$ 的聚点。
}%
\onslide<4->{%
 因为
\[
|f(x, y)-0|=\left|\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}-0\right| \leqslant x^{2}+y^{2}
\]
}%
\onslide<7->{%
可见， $\forall \varepsilon>0$, 取 $\delta=\sqrt{\varepsilon}$, 
}%
\onslide<6->{%
则当
\[
0<\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}<\delta,
\]
}%
\onslide<5->{%
即 $P(x, y) \in D \cap \mathring{U}(O, \delta)$ 时， 
总有
\[
|f(x, y)-0|<\varepsilon
\]
成立，
}%
\onslide<8->{%
所以
\[
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0
\]
}%
\end{proof}
}%
\end{frame}


\begin{frame}
为了区别于一元函数的极限， 我们把二元函数的极限叫做\emph{二重极限}。
\pause

关于二元函数的极限概念， 可相应地推广到 $n$ 元函数 $u=f(P)$, 即 $u=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 上去。


~

%\pause
必须注意， 所谓二重极限存在， 是指 $P(x, y)$ 以任何方式趋于 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 时， $f(x, y)$ 都无限接近于 $A$. 
%\pause
因此， 如果 $P(x, y)$ 以某一特殊方式，
%\pause
例如沿着一条定直线或
定曲线趋于 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 时， 
%\pause
即使 $f(x, y)$ 无限接近于某一确定值， 我们还不能由此断定函数的极限存在。
%\pause
 但是反过来， 如果当 $P(x, y)$ 以不同的方式趋于 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 时， $f(x, y)$ 趋于不同的值， 那么就可以断定这函数的极限不存在。
%\pause
 下面用例子来说明这种情形。

\end{frame}


\begin{frame}
考察函数
\[
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases}
\]
%\pause
显然， 当点 $P(x, y)$ 沿 $x$ 轴趋于点 $(0,0)$ 时，
\[
\lim _{\substack{(x, y) \rightarrow(0,0) \\ y=0}} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x, 0)=\lim _{x \rightarrow 0} 0=0
\]
%\pause
又当点 $P(x, y)$ 沿 $y$ 轴趋于点 $(0,0)$ 时，
\[
\lim _{\substack{(x, y) \rightarrow(0,0) \\ x=0}} f(x, y)=\lim _{y \rightarrow 0} f(0, y)=\lim _{y \rightarrow 0} 0=0
\]

%\pause
虽然点 $P(x, y)$ 以上述两种特殊方式 (沿 $x$ 轴或沿 $y$ 轴) 趋于原点时函数的极限存在并且相等， 
%\pause
但是 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 并不存在。
%\pause
 这是因为当点 $P(x, y)$ 沿着直线 $y=k x$ 趋于点 $(0,0)$ 时， 
%\pause
 有
\[
\lim _{\substack{(x, y) \rightarrow(0,0) \\ y=k x}} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{k x^{2}}{x^{2}+k^{2} x^{2}}=\frac{k}{1+k^{2}}
\]
%\pause
显然它是随着 $k$ 的值的不同而改变的。

\end{frame}

\begin{frame}
关于多元函数的极限运算， 有与一元函数类似的运算法则。

~

\pause
如在四则运算下的法则：
\pause
设
\[
\lim_{P\rightarrow P_0} f(P)=A, \quad \lim_{P\rightarrow P_0} g(P)=B,
\]
则
\pause
\begin{align*}
  \uncover<+->{%\pause
  \lim_{P\rightarrow P_0} \left( f(P)\pm g(P) \right)&= \lim_{P\rightarrow P_0} f(P) \pm \lim_{P\rightarrow P_0} g(P)=A\pm B;\\
}%\pause
\uncover<+->{%\pause
    \lim_{P\rightarrow P_0}\left( f(P)\cdot g(P) \right)&= \lim_{P\rightarrow P_0} f(P)\cdot \lim_{P\rightarrow P_0} g(P) =AB; \\
  }%\pause
  \uncover<+->{%\pause
\lim_{P\rightarrow P_0} \frac{f(P)}{g(P)} &=  \frac{\lim_{P\rightarrow P_0} f(x)}{\lim_{P\rightarrow P_0} g(x)} = \frac{A}{B}\quad (\text{若还有$B\neq 0$}). 
}%
\end{align*}

\pause
再比如复合函数的极限运算法则（我们只写出一个简单的特别形式）：\\
\pause
设
  $g(x,y)$在定义域的聚点$P(x_0,y_0)$处的极限为$a$,
$f(x)$在定义域的聚点$a$处有极限$A$, 
且$(x_0,y_0)$是复合函数$z=f(g(x,y))$的定义域的聚点，
  \pause
  那么复合函数$z=f(g(x,y))$点$(x_0,y_0)$处的极限为$A$.
\end{frame}


\begin{frame}

\begin{example}
求 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)} \frac{\sin (x y)}{x}$.
\end{example}

\pause
\begin{solution}
  \pause
这里函数 $\frac{\sin (x y)}{x}$ 的定义域为 $D=\{(x, y) \mid x \neq 0, y \in \symbf{R}\}, P_{0}(0,2)$ 为 $D$ 的聚点。
\pause
应用积和复合函数的极限运算法则，我们有
\[
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)} \frac{\sin (x y)}{x}
\pause
=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)}\left[\frac{\sin (x y)}{x y} \cdot y\right]
\pause
= \lim _{x y \rightarrow 0} \frac{\sin (x y)}{x y} \cdot \lim _{y \rightarrow 2}y
\pause
= 1 \times 2=2 ,
\]
\end{solution}

\end{frame}

\section{多元函数的连续性}

\begin{frame}{多元连续函数}
\pause

明白了函数极限的概念， 就不难说明多元函数的连续性。


\pause
\begin{definition*}
设二元函数 $f(P)=f(x, y)$ 的定义域为 $D, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $D$ 的聚点， 且 $P_{0} \in D$.
\pause
如果%\footnote{若$f$在$(x_0,y_0)$处无定义但有极限，那么我们直接定义$f(x_0,y_0)$为该极限。}
\[
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right),
\]
\pause
那么称函数 $f(x, y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ \emph{连续}。

\end{definition*}


\pause
设函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有定义， $D$ 内的每一点都是函数定义域的聚点。
\pause
 如果函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 的每一点都连续， 那么就称函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续， 或者称 $f(x, y)$ 是 $D$上的\emph{连续函数}。

~

 \pause
以上关于二元函数的连续性概念， 可相应地推广到 $n$ 元函数 $f(P)$ 上去。



\end{frame}

\begin{frame}
  \pause
  下面， 我们把一元基本初等函数看成二元函数的特例 (即另一个自变量不出现), 来讨论它的连续性。
\pause
 先看一个例子。

 \pause
\begin{example}
 设 $f(x, y)=\sin x$, 证明 $f(x, y)$ 是 $\symbf{R}^{2}$ 上的连续函数。
  \end{example}
  \pause
 \begin{proof}
  设 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) \in \symbf{R}^{2}$. 
\pause
  $\forall \varepsilon>0$, 由于 $\sin x$ 在 $x_{0}$ 处连续， 故 $\exists \delta>0$, 当 $\left|x-x_{0}\right|<\delta$时， 有
 \[
  \left|\sin x-\sin x_{0}\right|<\varepsilon .
 \]
 \pause
  以上述 $\delta$ 作 $P_{0}$ 的 $\delta$ 邻域 $U\left(P_{0}, \delta\right)$, 则当 $P(x, y) \in U\left(P_{0}, \delta\right)$ 时， 显然
 \[
  \left|x-x_{0}\right| \leqslant \rho\left(P, P_{0}\right)<\delta,
 \]
 \pause
  从而
 \[
  \left|f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|=\left|\sin x-\sin x_{0}\right|<\varepsilon,
 \]
 \pause
  即 $f(x, y)=\sin x$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续。
\pause
 由 $P_{0}$ 的任意性知， $\sin x$ 作为 $x, y$ 的二元函数在 $\symbf{R}^{2}$ 上连续。
 \end{proof}

 \pause
 类似的讨论可知，一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时， 它们在各自的定义域内都是连续的。
 \end{frame}



 \begin{frame}{间断点}
\pause
   \begin{definition*}
     设函数 $f(x, y)$ 的定义域为 $D, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $D$ 的聚点。
\pause
 如果函数 $f(x, y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 不连续， 那么称 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为函数 $f(x, y)$ 的\emph{间断点}。
 \end{definition*}

 \pause
 例如， 前面讨论过的函数
 \[
   f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
     \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\
   0, & x^{2}+y^{2}=0
 \end{array}\right.
 \]
 \pause
 其定义域 $D=\symbf{R}^{2}$, 点 $O(0,0)$ 是 $D$ 的聚点。
\pause
 $f(x, y)$ 当 $(x, y) \rightarrow(0,0)$ 时的极限不存在， 所以点 $O(0,0)$ 是该函数的一个间断点; 
\pause
 又如函数
 \[
 f(x, y)=\sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}-1}
 \]
 \pause
 其定义域为
 \[
 D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \neq 1\right\},
 \]
 \pause
 圆周 $C=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$ 上的点都是 $D$ 的聚点， 
\pause
 而 $f(x, y)$ 在 $C$ 上没有定义， 当然 $f(x, y)$ 在 $C$ 上各点都不连续， 
 \pause
 所以圆周 $C$ 上各点都是该函数的间断点。
 \end{frame}

 \begin{frame}
  前面已经指出： 一元函数中关于极限的运算法则， 对于多元函数仍然适用。
\pause
 根据多元函数的极限运算法则， 可以证明多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 
\pause
 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 
\pause
 多元连续函数的复合函数也是连续函数。

 ~

 \pause
与一元初等函数相类似，多元初等函数是指可用一个式子表示的多元函数， 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的。
\pause
例如， $\frac{x+x^{2}-y^{2}}{1+y^{2}}, \sin (x+y), \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 等都是多元初等函数。

~

\pause
根据上面指出的连续函数的和 、差、积、商的连续性以及连续函数的复合函数的连续性， 再利用基本初等函数的连续性， 我们进一步可以得出如下结论：

~

\pause
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的\footnote{为何是定义区域，而不是整个定义域？受目前的定义限制？}。
\pause
所谓\emph{定义区域}是指包含在定义域内的区域或闭区域。

~

\pause
由多元初等函数的连续性， 如果要求它在点 $P_{0}$ 处的极限， 而该点又在此函数的定义区域内， 那么此极限值就是函数在该点的函数值， 即
\[
\lim _{P \rightarrow P_{0}} f(P)=f\left(P_{0}\right) .
\]
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  求 $\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \frac{x+y}{x y}$.
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \pause
函数 $f(x, y)=\frac{x+y}{x y}$ 是初等函数， 
\pause
它的定义域为
\[
D=\{(x, y) \mid x \neq 0, y \neq 0\} .
\]
\pause
$P_{0}(1,2)$ 为 $D$ 的内点， 故存在 $P_{0}$ 的某一邻域 $U\left(P_{0}\right) \subset D$, 而任何邻域都是区域， 所以 $U\left(P_{0}\right)$ 是 $f(x, y)$ 的一个定义区域， 
\pause
因此
\[
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \frac{x+y}{x y}=f(1,2)=\frac{3}{2} .
\]
\end{solution}

\pause
一般地， 求 $\lim _{P \rightarrow P_{0}} f(P)$ 时， 如果 $f(P)$ 是初等函数， 且 $P_{0}$ 是 $f(P)$ 的定义域的内点， 那么 $f(P)$ 在点 $P_{0}$ 处连续， 
\pause
于是
\[
\lim _{P \rightarrow P_{0}} f(P)=f\left(P_{0}\right) .
\]


\end{frame}

\begin{frame}
\begin{example}
求 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x y+1}-1}{x y}$.
\end{example}

\pause
\begin{solution}
  \pause
  \[
    \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x y+1}-1}{x y}
\pause
=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y+1-1}{x y(\sqrt{x y+1}+1)}
\pause
=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1}{\sqrt{x y+1}+1}
\pause
=\frac{1}{2}.
\]

\pause
以上运算的最后一步用到了二元函数 $\frac{1}{\sqrt{x y+1}+1}$ 在点 $(0,0)$ 的连续性。
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
与闭区间上一元连续函数的性质相类似， 在有界闭区域上连续的多元函数具有如下性质：

\pause
\begin{theorem*}[性质 1 (有界性与最大值最小值定理)] 
\pause
在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数， 必定在 $D$ 上有界， 且能取得它的最大值和最小值。
\end{theorem*}

\pause
性质 1 就是说， 若 $f(P)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续， 则必定存在常数 $M>0$, 使得对一切 $P \in D$, 有 $|f(P)| \leqslant M$; 
\pause
且存在 $P_{1}, P_{2} \in D$, 使得对任意的$P\in D$有
\[
  f(P_1)\geqslant f(P), \quad f(P_2)\leqslant f(P).
\]


\vspace{-\baselineskip}\pause
\begin{theorem*}[性质 2 (介值定理)] 
    \pause
  在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
\end{theorem*}

\pause
\begin{theorem*}[性质 3 (一致连续性定理)] 
  \pause
    在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数必定在 $D$ 上\emph{一致连续}。
  \end{theorem*}

    \pause
  性质 3 就是说， 若 $f(P)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续， 则对于任意给定的正数 $\varepsilon$, 总存在正数 $\delta$, 使得对于 $D$ 上的任意两点 $P_{1}, P_{2}$, 只要当 $\left|P_{1} P_{2}\right|<\delta$ 时， 都有
  \[
  \left|f\left(P_{1}\right)-f\left(P_{2}\right)\right|<\varepsilon
\]
成立。
\end{frame}


\end{document}
